Yks' pyöräilijä

Eli opetus≫

Vino kolikkotorni

| 0 comments

Kolikkotorni tai kolikkorappuset kaatuu kuten muutkin esineet, eli jos massakeskipisteestä vedetty luotisuora ohittaa tukipinnan. Miten kolikot pitää asetella, jotta tasapaino säilyy?

 

Tasapainotilanteessa sekä yksittäisten kolikkojen, että kolikkotornin masssakeskipisteiden luotisuora pitää olla juuri reunalla. Katso kuvasta muutama ensimmäinen kolikko.

kolikkotorini

Kuvassa torni kannattaa rakentaa ylhäältä alaspäin. Oikeasti se on se vaikeampi tapa, luulisin.

Rakennetun osion massakeskipisteen tulee olla aina uuden, alemman kolikon reunalla. Joka kohdassa. Silloin torni on maksimaalinen. Alla olevassa kuvassa nuolet havainnollistavat massakeskipisteiden painovoimaa.

kolikkotorini_iso

Tasapainoyhtälön mukaan $x m_{n-1} = (1-x)m_1$, jossa massan alaindeksi $m_i$ kertoo, kuinka paljon $i$ kolikkoa painaa; eli $m_n = nm_1 = nm$.

Siis pitää ratkaista

$x (n-1) m = (1-x) m$

$x(n-1) =1-x$

$x = \frac1n$.

Kolikkotornin rakentaminen käy hyvin hankalaksi korkeuden $n$ kasvaessa, koska niiden erotus on vain $1/n$ alhaalla.

Kuinka leveäksi kolikkotornin voi rakentaa? Lasketaan vain yhteen poikkeamat $x$. Saadaan

$1 + \frac12 + \frac13 + \frac 14 + \cdots \frac1n$,

jos on käytettävissä $n$ kolikkoa. Kun $n$ kasvaa rajatta, niin selvästi edellinen summa voidaan kirjoittaa muodossa

$1 + \frac12 + \left( \frac13 + \frac 14\right) + \left(\frac15 + \frac16 + \frac17 +\frac18 \right) + \big( \frac19 + \frac1{10} + \frac1{11} + \frac1{12} +\cdots \big. $

Katsotaan sulkeita, ja muutetaan niissä olevaa summa pienemmäksi, saadaan

$1 + \frac12 + \left( \frac14 + \frac 14\right) + \left(\frac18 + \frac18 + \frac18 +\frac18 \right) + \big( \frac1{16} + \frac1{16} + \frac1{16} + \frac1{16} +\cdots \big. $

ja nyt jokaisen sulkeen sisällä on puolikas, $\frac12$. Siis alkuperäinen summa on varmasti pienempi kuin

$1 + \frac12 + \frac12 + \frac12 +\frac12 \cdots$

eli summa lähestyy ääretöntä.

Siis kolikkotornin leveys voi olla mielivaltainen, tosin samalla korkeus kasvaa mielivaltaisen suureksi. Kuten massa. Pitää olla vahva pöytä.

Leave a Reply

Required fields are marked *.