April 8, 2014
by Markku Leino
0 comments
Ratkaise raja-arvo $\lim_{x\to3} \frac{\sqrt[3]{x+1} – \sqrt[3]4}{x-3}$. Helppo nakki. Kaksi eri ratkaisua. Näkemällä Derivaatan määritelmä on $D f(x) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h) – f(x)}h$, joten merkitään alakertaan katsellen $h = x-3$ josta saadaan $x=h+3$. Muutetaan raja-arvon muuttujaa; nyt $x\to 3$ eli $h+3\to 3$ … Continue reading
May 20, 2013
by Markku Leino
0 comments
Taulukossa lukee, että $\lim_{n\to\infty}\left( 1+ \tfrac xn\right)^n = e^x$. Miten se voidaan havainnollistaa. Muutamia ajatuksia alla. Potenssifunktiolla. Olkoon $f_n(x) = \left(1 + \frac xn\right)^n$. Selvästi $f_n(x) f_n(y) = \left(1 + \frac xn\right)^n \left(1 + \frac yn\right)^n$ $= \left(1 + \frac{x+y … Continue reading
March 12, 2013
by Markku Leino
0 comments
Derivaatta irtoaa erotusosamäärällä, kunhan muistaa Eulerin vakion raja-arvomääritelmän. Se esitys on kuitenkin standardikamaa. Logaritmin derivaatta käyttäen hyväksi ainoastaan derivaatan ja logaritmin ominaisuuksia. Summan derivaatta ja derivaattojen summa: $\D ( f(x) + g(x) ) = \D f(x) + \D g(x)$. Yhdistetyn … Continue reading
March 4, 2013
by Markku Leino
0 comments
John Napierin työstä vuodelta 1614 (alkujaan 1594?). Alkujaan juontaa alkunsa trigonometristen (astronomia-, navigaatio-) laskuissa ilmitulleiden vaikeiden kertolaskujen yksinkertaistamisessa. Ensin Napier laski, mitä on $(1-10^{-7})^L$, jossa $L$ vaihtelee 1:stä 100:aan. Sitten hän kertoi nämä tulokset luvulla $10^7(1-10^{-5})^L$, jossa nyt $1 \leq … Continue reading
