Kuinka moneen osaan 3-ulotteinen avaruus voidaan jakaa viidellä tasolla?
Osa 1: Kuvia katsomalla: heuristisestii
Olkoon maksimaalinen osien lukumäärä $m$ tasojen lukumäärän $j$ funktio.
- Nollalla tasolla homma on helppo: $m(0) = 1$.
- Yhdellä tasolla avaruus jaetaan selvästi kahteen osaan: $m(1) = 2$.
- Kahdella eri tasolla avaruus voidaan jakaa neljään osaan: $m(2) = 4$.
- Kolmella tasolla saadaan enintään kahdeksan eri aluetta: $m(3) = 8$
Näyttää kuin osien lukumäärä olisi yksinkertainen $m(j) = 2^j$. Onko näin?
- Neljällä tasolla; Onko $m(4) = 16?$. Selvästi ei ole.
Neljän tason visualisointi on haastavaa, joten tehdään kaksiulotteinen yksinkertaistus. Katsotaan, moneenko osaan taso voidaan jakaa suorilla.
- Selvästi, yhdellä suoralla saadaan kaksi eri tason aluetta; $n(1) = 2$.
- Kahdella suoralla saadaan enintään kaksi eri aluetta, $n(2)=4$
- Kolmella suoralla saadaankin vain seitsemän eri aluetta, $n(3)=7$:
Ääritapauksessa saadaan
- yksi kolmio,
- kolme osaa, joilla on yhteinen sivu kolmion kanssa ja
- kolme osaa, joiilla on yhteinen piste kolmion kanssa.
Mikä on kolmiulotteinen vastine tälle 2D-analogialle?
- Yksi kolmio -> yksi tetraedri (pyramidi).
- Kolme yhteistä sivua -> neljä yhteistä tahkoa.
- Kolme yhteistä pistettä -> neljä yhteistä sivua.
- Lisäksi vielä kuusi tetraedrin yhteistä pistettä.
Yhteensä siis 15 aluetta. Siis $m(4)=15$. Kirjoitetaan taulukko, jossa näkyy sekä 2D- että 3D-tapaukset:
$j$ | $m(j)$ $n(j)$ eli osia/suoria | tasoja/suoria | suoria/pisteitä |
---|---|---|---|
$0$ | $1$ | $1$ | $1$ |
$1$ | $2$ | $2$ | $2$ |
$2$ | $4$ | $4$ | $3$ |
$3$ | $8$ | $7$ | $4$ |
$4$ | $15$ | $5$ | |
$5$ | $6$ |
Taulukkoon jäi vielä tyhjää, ei siis vieläkään tiedetä, kuinka montaa osaa tulee. Mutta, katsopa taulukkoa kierolla silmällä.
$j$ | osia/suoria | tasoja/suoria | suoria/pisteitä |
---|---|---|---|
$0$ | $1$ | $1$ | $1$ |
$1$ | $2$ | $2$ | $2$ |
$2$ | $4$ | $4$ | $3$ |
$3$ | $8$ | $7$ | $4$ |
$4$ | $15$ | $5$ | |
$5$ | $6$ |
Siis $15 = 8+7$, $7=4+3$, $8=4+4$ jne. Siis alla solu saadaan aina ylemmän ja yläviiston solun summana.
Siis
$j$ | osia/suoria | tasoja/suoria | suoria/pisteitä |
---|---|---|---|
$0$ | $1$ | $1$ | $1$ |
$1$ | $2$ | $2$ | $2$ |
$2$ | $4$ | $4$ | $3$ |
$3$ | $8$ | $7$ | $4$ |
$4$ | $15$ | $11$ | $5$ |
$5$ | $26$ | $16$ | $6$ |
Joten viidellä tasolla saadaan $26=15+11$ osaa avaruudesta erotettua toisistaan.
Osa 2: Vaikeamman kautta: matemaattinen todistus.
Esiongelma: Kuinka moneen osaan taso voidaan enintään jakaa $j$:llä viivalla? Kuten edellä huomattiin, maksimaalinen määrä tason osia saadaan, kun
- suorat eivät ole yhdensuuntaisia
- suorat eivät leikkaa toisiaan samassa pisteessä
Olkoon maksimaalinen tasoalueiden lukumäärä yhä $n(j)$. Lisätään yksi uusi suora
Uusi suora leikkaa jokaista vanhaa suoraa, siis $n(j)$ kappaletta leikkauspisteitä. Leikkauspisteet jakavat suoran $j+1$:een osaan. Samalla ne jakavat $j+1$ aluetta kahdeksi. Siis
$n(j+1) = n(j) + (n+1)$.
Testataan tätä tulosta aiempiin.
$n(1) = 1 + 1 = 2$
$n(2) = n(1) + 2 = 2 + 2= 4$
$n(3) = n(2) + 3 = 4+3 = 7$
$n(j) = n(j-1) + j$
Ynnätään kaikki yhteen, ja saadaan
$n(j) = 1 + (1+2+3+\cdots+j) = 1 + \frac{j(j+1)}2$.
Lavennetaan vielä samannimisiksi, ja saadaan tulos, että maksimaalinen tasojoukkojen lukumäärä $j$:llä suoralla on
$n(j) = \tfrac12 \left( j^2 +j + 2\right)$.
3-ulotteinen ropleema. Äskeisen perusteella suurin avaruusjoukkojen lukumäärä saadaan, kun kaikki tasot ovat erisuuntaisia ja kun tasot leikkaavat toisensa eri pisteissä.
Kuten edellä, olkoon suurin avaruusjoukkojen lukumäärä $m(j)$, jossa $j$ on tasojen määrä. Lisätään taas uusi taso; sen ja vanhojen tasojen leikkauspisteitä on $j$ kappaletta. Siis
$m(j+1) = m(j) + n(j)$,
koska uusi taso jakaantuu $j$:llä suoralla $n(j)$:ksi tasoalueeksi. Tsekataan:
$m(1) = 1 +1 = 2$
$m(2) = m(1) + n(1) = 2 + 2 = 4$
$m(3) = m(2) + n(2) = 4 + 4 = 8$
ja yleisesti
$m(j) = m(j-1) + n(j-1)$.
Rekursiivinen summa on helppo laskea, tulos on
$m(j) = 2 + n(1) + n(2) + \cdots + n(j-1)$.
Laitetaan vielä edellinen tulos eli $n(j)=\tfrac12(j^2 + j +2)$ paikoilleen, ja saadaan
$m(j) = 2 + \tfrac12 \left( (1^2 +1 +2 ) + (2^2 + 2 + 2) +\cdots + ((j-1)^2 + j-1 + 2) \right)$
$= 2 + \tfrac12 \left( (1^2 + 2^2 + \cdots (j-1)^2) +(1 + 2 + \cdots j-1) + (2 + \cdots+ 2) \right)$
$=2 + \tfrac12 \left( \tfrac16(j-1)j(2j-1) + \frac12(j-1)j + 2(j-1) \right)$
$=j +1 + \tfrac1{12}(j-1)j(2j-1) + \tfrac14(j-1)j $
$=\tfrac16(j^3 + 5j+6)$.
[Huomaa, että Yoko Theme näyttää leikkaavan pitkän htälön oikeasta reunasta. . . ]
Siinä.
Samalla huomataan (laskemalla derivaatan nollakohdat), että funktiolla ei ole ääriarvoja.
Huom! Apuna oli Temple Math Club Guess! netistä ja Steiner’s division of Space by Planes. Mathematics and plausible reasoning; Volume I on ostoslistalla.