Kuinka moneen osaan 3-ulotteinen avaruus voidaan jakaa viidellä tasolla?

 

Osa 1: Kuvia katsomalla: heuristisestii

Olkoon maksimaalinen osien lukumäärä $m$ tasojen lukumäärän $j$ funktio.

• Nollalla tasolla homma on helppo: $m(0) = 1$.
• Yhdellä tasolla avaruus jaetaan selvästi kahteen osaan: $m(1) = 2$.
• Kahdella eri tasolla avaruus voidaan jakaa neljään osaan: $m(2) = 4$.
• Kolmella tasolla saadaan enintään kahdeksan eri aluetta: $m(3) = 8$

Näyttää kuin osien lukumäärä olisi yksinkertainen $m(j) = 2^j$. Onko näin?

• Neljällä tasolla; Onko $m(4) = 16?$. Selvästi ei ole.

Neljän tason visualisointi on haastavaa, joten tehdään kaksiulotteinen yksinkertaistus. Katsotaan, moneenko osaan taso voidaan jakaa suorilla.

• Selvästi, yhdellä suoralla saadaan kaksi eri tason aluetta; $n(1) = 2$.
• Kahdella suoralla saadaan enintään kaksi eri aluetta, $n(2)=4$
• Kolmella suoralla saadaankin vain seitsemän eri aluetta, $n(3)=7$:

Ääritapauksessa saadaan

• yksi kolmio,
• kolme osaa, joilla on yhteinen sivu kolmion kanssa ja
• kolme osaa, joiilla on yhteinen piste kolmion kanssa.

Mikä on kolmiulotteinen vastine tälle 2D-analogialle?

• Yksi kolmio -> yksi tetraedri (pyramidi).
• Kolme yhteistä sivua -> neljä yhteistä tahkoa.
• Kolme yhteistä pistettä -> neljä yhteistä sivua.
• Lisäksi vielä kuusi tetraedrin yhteistä pistettä.

Yhteensä siis 15 aluetta. Siis $m(4)=15$. Kirjoitetaan taulukko, jossa näkyy sekä 2D- että 3D-tapaukset:

3D/2D

$j$	$m(j)$ $n(j)$ eli osia/suoria	tasoja/suoria	suoria/pisteitä
$0$	$1$	$1$	$1$
$1$	$2$	$2$	$2$
$2$	$4$	$4$	$3$
$3$	$8$	$7$	$4$
$4$	$15$		$5$
$5$			$6$

Taulukkoon jäi vielä tyhjää, ei siis vieläkään tiedetä, kuinka montaa osaa tulee. Mutta, katsopa taulukkoa kierolla silmällä.

 

3D/2D

$j$	osia/suoria	tasoja/suoria	suoria/pisteitä
$0$	$1$	$1$	$1$
$1$	$2$	$2$	$2$
$2$	$4$	$4$	$3$
$3$	$8$	$7$	$4$
$4$	$15$		$5$
$5$			$6$

Siis $15 = 8+7$, $7=4+3$, $8=4+4$ jne. Siis alla solu saadaan aina ylemmän ja yläviiston solun summana.

Siis

3D/2D

$j$	osia/suoria	tasoja/suoria	suoria/pisteitä
$0$	$1$	$1$	$1$
$1$	$2$	$2$	$2$
$2$	$4$	$4$	$3$
$3$	$8$	$7$	$4$
$4$	$15$	$11$	$5$
$5$	$26$	$16$	$6$

 

Joten viidellä tasolla saadaan $26=15+11$ osaa avaruudesta erotettua toisistaan.

 

Osa 2: Vaikeamman kautta: matemaattinen todistus.

 

Esiongelma: Kuinka moneen osaan taso voidaan enintään jakaa $j$:llä viivalla? Kuten edellä huomattiin, maksimaalinen määrä tason osia saadaan, kun

• suorat eivät ole yhdensuuntaisia
• suorat eivät leikkaa toisiaan samassa pisteessä

Olkoon maksimaalinen tasoalueiden lukumäärä yhä $n(j)$. Lisätään yksi uusi suora

Uusi suora leikkaa jokaista vanhaa suoraa, siis $n(j)$ kappaletta leikkauspisteitä. Leikkauspisteet jakavat suoran $j+1$:een osaan. Samalla ne jakavat $j+1$ aluetta kahdeksi. Siis

$n(j+1) = n(j) + (n+1)$.

Testataan tätä tulosta aiempiin.

$n(1) = 1 + 1 = 2$

$n(2) = n(1) + 2 = 2 + 2= 4$

$n(3) = n(2) + 3 = 4+3 = 7$

$n(j) = n(j-1) + j$

Ynnätään kaikki yhteen, ja saadaan

$n(j) = 1 + (1+2+3+\cdots+j) = 1 + \frac{j(j+1)}2$.

Lavennetaan vielä samannimisiksi, ja saadaan tulos, että maksimaalinen tasojoukkojen lukumäärä $j$:llä suoralla on

$n(j) = \tfrac12 \left( j^2 +j + 2\right)$.

 

3-ulotteinen ropleema. Äskeisen perusteella suurin avaruusjoukkojen lukumäärä saadaan, kun kaikki tasot ovat erisuuntaisia ja kun tasot leikkaavat toisensa eri pisteissä.

 

Kuten edellä, olkoon suurin avaruusjoukkojen lukumäärä $m(j)$, jossa $j$ on tasojen määrä. Lisätään taas uusi taso; sen ja vanhojen tasojen leikkauspisteitä on $j$ kappaletta. Siis

$m(j+1) = m(j) + n(j)$,

koska uusi taso jakaantuu $j$:llä suoralla $n(j)$:ksi tasoalueeksi. Tsekataan:

$m(1) = 1 +1 = 2$

$m(2) = m(1) + n(1) = 2 + 2 = 4$

$m(3) = m(2) + n(2) = 4 + 4 = 8$

ja yleisesti

$m(j) = m(j-1) + n(j-1)$.

Rekursiivinen summa on helppo laskea, tulos on

$m(j) = 2 + n(1) + n(2) + \cdots + n(j-1)$.

Laitetaan vielä edellinen tulos eli $n(j)=\tfrac12(j^2 + j +2)$ paikoilleen, ja saadaan

$m(j) = 2 + \tfrac12 \left( (1^2 +1 +2 ) + (2^2 + 2 + 2) +\cdots + ((j-1)^2 + j-1 + 2)    \right)$

$= 2 + \tfrac12 \left( (1^2 + 2^2 + \cdots (j-1)^2) +(1 + 2 + \cdots j-1) + (2 + \cdots+ 2)  \right)$

$=2 + \tfrac12 \left( \tfrac16(j-1)j(2j-1) + \frac12(j-1)j + 2(j-1) \right)$

$=j +1 + \tfrac1{12}(j-1)j(2j-1) + \tfrac14(j-1)j $

$=\tfrac16(j^3 + 5j+6)$.

[Huomaa, että Yoko Theme näyttää leikkaavan pitkän htälön oikeasta reunasta. . . ]

Siinä.

Samalla huomataan (laskemalla derivaatan nollakohdat), että funktiolla ei ole ääriarvoja.

 

 

Huom! Apuna oli Temple Math Club Guess! netistä ja Steiner’s division of Space by Planes. Mathematics and plausible reasoning; Volume I on ostoslistalla.