Yks' pyöräilijä

Eli opetus≫

$\syt(n^3+1, n^2+2)=1$, $3$ tai $9$

| 0 comments

Olkoon $n$ positiivinen kokonaisluku. Osoita, että $\syt(n^3+1, n^2+2)=1$, $3$ tai $9$.

Suurin yhteinen tekijä, $\syt$, toimii yhtälailla polynomeille kuin kokonaisluvuillekin. Kokonaisluvuille pätee muutama simppeli sääntö. Kaikille $a,b,c\in\mathbb Z$ pätee

  • $\syt(a+cb,b)= \syt(a,b)$ eli esimerkiksi $\syt(8+2\cdot12, 12) = \syt(8,12)$.

[Todistus tulee joskus.] Tämä tulos on helppo yleistää polynomeillekin.

 

Siis

$\syt(n^3+1,n^2+2)=\syt((n^3+1)−n(n^2+2),n^2+2)$

$=\syt(1−2n,n^2+2)$.

Leikitään samaa leikkiä lisää, jolloin

$\syt(n^3+1,n^2+2)=\syt(2n-1,n^2+2)$

$= \syt(2n-1, n^2+2+2n-1)$

$= \syt(2n-1,n^2+2n+1)$

$= \syt(2n-1,(n+1)^2).$

Saatiin ainakin se neliö aikaiseksi. Nyt, jos saadaan vielä yhteiseksi tekijäksi $1$ tai $3$, niin homma on selvä. Joten lasketaan

$\syt(2n-1,n+1) =\syt(2n-1-(n+1), n+1)$

$=\syt(n-2,n+1) $

$= \syt(n-2,n+1-(n-2))$

$=\syt(n-2,3)= 1\text{ tai }3$.

Viimeinen rivi on selvä; edelliset ovat äskeisen tuloksen toistoa. Lisätyt polynomit ovat näkyvissä, joten homma on aika selvä.

 

Leave a Reply

Required fields are marked *.