Yks' pyöräilijä

Eli opetus≫

Newtonin toinen, NII, aikalaisten mukaan

| 0 comments

The Mathematical Principles of Natural Philosophy oli mullistava teos, mutta väittävät, että Newtonin II laki

$F = ma$

ei sieltä löydy. Hän mainitsee, että liikemäärä on massan ja nopeuden tulo, mutta muuta ei ilmeisesti ole [en ole vielä lukenut moista opusta, se on kuulemma varsin vaikeaselkoinen].

 

Stanford Encyclopedia of Philosophy mainitsee, että Newtonin kirjassa lukee, jotakuinkin “liikkeen muutos on verrannollinen vaikuttavaan voimaan ja muutos tapahtuu voiman suuntaan“. Hän soveltaa sitä sekä impulssivoimaan että jatkuvaan voimaan.

Newton ei kuitenkaan vielä käyttänyt yksiköitä, vaan mieluummin “suhteita, verrannollisuuksia”. Vaikuttava voima on verrannollinen liikemäärän muutokseen, eikä, kuten nykyään kirjoitetaan

$F= \frac{d p}{d t}$

eli voima on liikemäärän muutos.

1600- tai 1700-luvuilla ei vielä Ranskan vallankumous ollut tapahtunut, ja yksiköt olivat vielä enemmän poikkeavia kuin nykyään. Siihen aikaan fysikaaliset tosiasiat saattoivat olla vain joidenkin numeroiden välisiä suhteita. Standardoituja yksikköjärjestelmiä ei vielä ollut olemassa, joten NII:sta kuvailevan kokeen (experimentin) ajan, voiman ja liikemäärän yksiköiksi tuli jotkin, mitkä koeolosuhteet määrittivät.

Siis voimamittari antaa voimaverrannon, liikemäärämittari antaa liikemääräverrannon ja aikamittari antaa aikaverrannon. Aikaa mitattiin ehkä heilurilla.

 

Newton ja kolleegat epäilivät, että suhde on lineaarinen. Siis he tekivät kokeen, jossa verrattiin voimamittarin asteikon eri voimia kellon asteikon eri kohtiin ja vielä liikemääräasteikon eri pykäliin. Sitten he löivät nuo numerot — yksiköitä ei tosiaan ollut — vastaavaan yhtälöön

$F^N = K^N_F \frac{d p^N}{d t^N}$,

jossa yläindeksi $^N$ viittaa numeriseen arvoon eli siihen mikä luetaan mittarista. Sitten määritetään vakio $K^N_F$. Selvästi, tämä vakio $K_F^N$ riippuu siitä, miten mittarit on kalibroitu, eli yksikköjärjestelmästä. Jos

  • voiman yksikkö on naula $\text{lb}_F$,
  • liikemäärän yksikkö $\text{lb}_M \text{ ft } \text{s}^{-1}$ ja
  • ajan yksikkönä sekunti,

saadaan, että

$K_F^N = 32.174$.

Pikkuhiljaa yksiköt alkoivat tulla mukaan ajatuksiin, mutta verrannollisuuskertoimet täytyi pitää pitkään mukana. Lopulta yhä enemmän porukkaa innostui fysiikasta, jolloin tuli tarpeelliseksi verrata eri laboratorioiden tuloksia keskenään. Huomattiin, että NII yllä olevassa muodossa $F^N =K^N_F \frac{d p^N}{d t^N} $ voitiinkin kirjoittaa muodossa

$\frac{F}{\text{lb}_F} = \frac{K_F}{\text{lb}_F / ( \text{lb}_M \text{ ft } \text{s}^{-2}) } \frac{ \frac{d p}{ \text{lb}_M \text{ ft } \text{s}^{-1} }  }{ \frac{d t }{s}}$

koska siis numeerinen arvo on siis mittauslukema jaettuna sen yksiköllä. Tarkista, että ylläolevassa yksiköt menevät oikein! Tästä voidaan kertoa yksiköitä pois, ja saadaan

$F = K_F \frac{dp }{dt}$,

jossa

$K_F = K_F^N \frac{\text{lb}_F }{ \text{lb}_M \text{ ft } \text{s}^{-2}}$.

Ja tästähän rupeaa jo näkemään, että kyseessä ei olekaan pelkästään lukujen välisestä suhteesta, vaan suureiden välisestä suhteesta. Suureiden väliset suhteet on ilmaistu jonkin referenssiarvon kerrannaisina.

Jos edellinen analyysi tehdään ilman verrannollisuuskerrointa $K_F$, saadaan

$F = \frac{d p}{d t}$,

mutta mittauksissa käytetään sekuntia aikana ja $\text{lb}_M \text{ ft } \text{s}^{-1}$ liikemääräksi, niin koska luetaan numerot $p^N$ ja $t^N$ (diskreetisti $d \to \Delta$), saadaan

$F = \frac{d p^N \text{ lb}_M \text{ ft } \text{s}^{-1}}{d t^s \text{ s }} = \frac{d p^N}{d t^N} \text{ lb}_M \text{ ft } \text{s}^{-2}$.

Voimaksi halutaan paunoja, joten täytyy muuntaa $\text{ lb}_M \text{ ft } \text{s}^{-2} \to \text{lb}_F$, joka on

$\text{lb}_F = 32.174 \text{ lb}_M \text{ ft } \text{s}^{-2}$

siis

$F = \frac1{32.174}\frac{d p}{d t} \text{ lb}_F$.

Näyttää samalta kuin yllä, mutta nyt muuntokerroin $K_F$ on systeemissä, ei yhtälössä.

Nykyisin epäillään, että yksiköt ovat ihmisen keksintöä ja että fysikaaliset tosiasiat ovat tosia riippumatta yksiköistä. Siis pitäisi olla jokin luonnollinen tapa ilmaista fysiikan yhtälöt nin, että verrannollisuuskertoimia ei näy.

Leave a Reply

Required fields are marked *.