Taulukossa lukee, että

$\lim_{n\to\infty}\left( 1+ \tfrac xn\right)^n = e^x$.

Miten se voidaan havainnollistaa. Muutamia ajatuksia alla.

Potenssifunktiolla.

Olkoon

$f_n(x) = \left(1 + \frac xn\right)^n$.

Selvästi

$f_n(x) f_n(y) = \left(1 + \frac xn\right)^n \left(1 + \frac yn\right)^n$

$= \left(1 + \frac{x+y + \frac{xy}n}{n} \right)^n$.

Otetaan tuosta raja-arvo eli $f(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(x)$, ja selvästi osoittajassa oleva termi $\frac{xy}n$ katoaa, ja saadaan tulokseksi

$f(x) f(y) = f(x+y)$.

Eksponenttifunktio käyttäytyy tuolla tavoin.

Se siitä.

Derivoimalla.

Koska $\D e^x = \D e^x$ (myös taulukosta. . .), niin lasketaanpa se. Ensimmäinen askel on hieman ongelmallinen, sillä miksi raja-arvon ja derivaatan paikkaa voi vaihtaa. Siitä ei nyt enempää:

$D \lim_{n\to\infty}\left( 1+ \tfrac xn\right)^n = \lim_{n\to\infty} \D \left( 1+ \tfrac xn\right)^n$.

Potenssifunktio on helppo derivoida, saadaan

$\D \left( 1+ \tfrac xn\right)^n = \left( 1+ \tfrac xn\right)^{n-1} = \frac{\left( 1+ \tfrac xn\right)^{n}}{\left( 1+ \tfrac xn\right)}$.

Kun tästä otetaan raja-arvo $n\to\infty$, saadaan

$\frac{\lim_{n\to\infty} \left( 1+ \tfrac xn\right)^{n}}{\lim_{n\to\infty}\left( 1+ \tfrac xn\right)} = \lim_{n\to\infty}\left( 1+ \tfrac xn\right)^n$.

Se selvä.

Logaritmilla.

Koska on osoitettu, että

$\left(1+\frac xn\right)^n=e^{n\log\left(1+\frac xn\right)}$.

Logaritmi $\log(1) = 0$, ja taas taulukosta saadaan,

$\log\left(1+\frac xn\right) \to \frac xn$,

kun $n$ kasvaa rajatta. Siis

$\left(1+\frac xn\right)^n =  e^{n\cdot \frac xn}=e^x$.

Se selvä.