Jos $\underbrace{111\cdots1111}_{n}\equiv0 \pmod {41}$, niin osoita, että $n=5k$, jossa $k\in\mathbb N$.

 

Tod. Induktiolla, mutta haetaan ensin vähän näkemystä.

$k=1 \Rightarrow 11111 = 41 \times 271$,

$k=2 \Rightarrow1111111111 = 41 \times 27100271$ ja

$k=3 \Rightarrow 111111111111111 = 41 \times 2710027100271$,

siis näyttää pelittävän. Huomaa jännät kertoimet $271$, $27100271$ jne. Leikitään niillä lopuksi.

 

Siis induktiota kehiin.

1. Induktion pohja: Osoitetaan väite todeksi, kun $k=1$. Se on yllä.
2. Induktio-oletus. Olkoon väite tosi, kun $k=\ell$. Siis $\underbrace{111\cdots1111}_{\ell} = 41\times m$, kun $m\in \mathbb N$.
3. Induktioaskel. Osoitetaan väite todeksi nojautumalla edelliseen, kun $k=\ell+1$. Kirjoitetaan tuo pitkä “ykkösjono” yhteen ja erotetaan siitä edellinen. Siis

$\underbrace{11111\underbrace{111\cdots1111}_{\ell}}_{\ell+1} = 11111\times 10^{\ell} + \underbrace{111\cdots1111}_{\ell} \\= 41\times 271 \times 10^\ell + 41 \times m = 41\times(271 + 10^\ell +m)$

ja tulos seuraa suoraan. Lisäksi $m\in\mathbb N$.

qed.

 

Huomaa! 
$\frac{5}{9}=0.555\cdots,\frac{5}{999}=0.005005\cdots,\frac{45}{999}=0.045045\cdots$