Ratkaise raja-arvo

$\lim_{x\to3} \frac{\sqrt[3]{x+1} – \sqrt[3]4}{x-3}$.

Helppo nakki. Kaksi eri ratkaisua.

Näkemällä

Derivaatan määritelmä on

$D f(x) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h) – f(x)}h$,

joten merkitään alakertaan katsellen $h = x-3$ josta saadaan $x=h+3$. Muutetaan raja-arvon muuttujaa; nyt $x\to 3$ eli $h+3\to 3$  josta $h\to0$. Laiteen nuo paikalleen ja saadaan

$\lim_{h\to0} \frac{\sqrt[3]{h+3+1} – \sqrt[3]4}{x-3} =\lim_{h\to0} \frac{\sqrt[3]{4+h} – \sqrt[3]4}{x-3}$,

mikä siis on funktion $f(x) = \sqrt[3]{x}$ derivaatta pisteessä $x=4$. Siispä raja-arvo on

$D x^{1/3} = 1/(3x^{2/3})$ mikä on $\frac1{6\sqrt[3]2}$, kun $x=4$.

Tekijöihinjaolla

Alkuperäisessä yhtälössä ylä- ja alakerta muistuttavat toisiaan:

$\frac{\sqrt[3]{x+1} – \sqrt[3]4}{x-3} = \frac{\sqrt[3]{x+1} – \sqrt[3]4}{(x+1)-4}$.

Koska $a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$, saadaan

$\frac{\sqrt[3]{x+1} – \sqrt[3]4}{(x+1)-4} = \frac{\sqrt[3]{x+1} – \sqrt[3]4}{\sqrt[3]{x+1}^3-\sqrt[3]4^3} =\frac{\sqrt[3]{x+1} – \sqrt[3]4}{(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]4)(\sqrt[3]{x+1}^2+\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]4+\sqrt[3]4^2)}$

$=\frac{1}{\sqrt[3]{x+1}^2+\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]4+\sqrt[3]4^2}$

 josta saadaan raja-arvo $x\to3$

$\frac{1}{\sqrt[3]{3+1}^2+\sqrt[3]{3+1}\sqrt[3]4+\sqrt[3]4^2}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}^2+\sqrt[3]{4}\sqrt[3]4+\sqrt[3]4^2} = \frac1{6\sqrt[3]2}$