YO-kevät 2014; vanha kiinalainen tarina:
Kani- ja fasaanilaumassa on yhteensä 35 päätä ja 94 jalkaa. Kuinka monta on kumpiakin?
Tiedetään, että kaneilla on neljä jalkaa ja fasaaneilla 2. Helppo homma. Alla muutama erilainen ratkaisutapa
Yhden muuttujan yhtälö
$2x+4(35-x)=94$
josta ratkeaa $x=23$, mikä on fasaanien määrä.
Yhtälöpari
$2x + 4y = 94$ ja
$x+y = 35$
Ratkeaa heittämällä, saadaan $x=23$ (fasaanit) ja $y=12$ (kanit).
Arvaus & tarkistus
Arvaa lukumäärät ja kokeile. Oikea vastaus on helppo tarkistaa, joten tämä on aika nopea.
Jalkojen alijäämä
Jos kaikki olisivat fasaaneja, jalkoja olisi $2\times35=70$. Kuitenkin jalkoja on 94, joten tarvitaan $94-70=24$ jalkaa lisää. Kullekin kanille tulee 2 jalkaa enemmän, joten saadaan kanien määräksi $24/2=12$.
Jalkojen ylijäämä
Jos kaikki olisivat kaneja, jalkoja olisi $4\times35=140$ . Niitä oli vain 94, joten tuli $140-94 = 46$ ylimääräistä jalkaa. Fasaaneilla on kaksi jalkaa vähemmän, joten tarvitaan $46/2=23$ fasaania tasaamaan.
Lista
Tehdään taulukko kaikista eri mahdollisuuksista. Fasaanien ja kanien yhteenlaskettu määrä on aina 35, ja kolmanteen sarakkeeseen lasketaaan jalkojen määrä.
Fasaaneja Kaneja Jalkoja 0 35 140 1 34 138 2 33 136 3 32 134 4 31 132 5 30 130 6 29 128 7 28 126 8 27 124 9 26 122 10 25 120 11 24 118 12 23 116 13 22 114 14 21 112 15 20 110 16 19 108 17 18 106 18 17 104 19 16 102 20 15 100 21 14 98 22 13 96 23 12 94 <-- Ratkaisu 24 11 92 25 10 90 26 9 88 27 8 86 28 7 84 29 6 82 30 5 80 31 4 78 32 3 76 33 2 74 34 1 72 35 0 70
Monikerrat
Samankaltainen kuin ylläoleva on monikertaratkaisu. Fasaaninen jalkojen monikerrat ovat $0,2,4,6,\dots$ ja kanien $0,4,8,12,\dots$
Siitä etsitään sopivat tulokset; eli paperille piirtelemällä saadaan esim. tähän tapaan:
Aika hankala tapa
Graafinen ratkaisu
Piirretään kaikki päät fasaaneille. Yhteensä 35.
Lasketaan jalat. Niitä on liikaa. Siispä ruvetaan vaihtamaan fasaaneja kaneiksi. Jokaisesta kanista tulee kaksi jalkaa lisää. Lopuksi saadaan oikea määrä elukoita:
Jalkojen poisto 1
Kirurgisesti haastava, mutta matemaattisesti kätevä. Poista kaksi jalkaa jokaisesta elukasta, jolloin jäljelle jää $94-2\times35=24$ jalkaa. Ne kuuluvat 12 kanille.
Jalkojen poisto 2
Kuten yllä; Poista neljä jalkaa jokaisesta elukasta, jolloin jäljelle jää $94-4\times35=-46$ jalkaa. Ne puuttuvat 23 fasaanilta.
Jos kaikki olisi kaneja
Jos kaikki päät kuuluisivat kaneille, jalkoja olisi $35\times4=140$ kappaletta. Mutta kun niitä olikin 94, eli $140-94=46$ vähemmän. Ne täytyy kuulua fasaaneille, eli $46/2=23$ on fasaanien määrä.
Keskiarvolla
Jalkojen keskiarvo on $94/35 = 2 + 24/35$. Keskimäärin jokaisella on siis $2+24/35 \approx 2.6857\dots$ jalkaa. Hieman enemmän ($24/35$-osaa enemmän) kuin pelkillä fasaaneilla. Siksi
$\frac{24}{35}35=24$
jalkaa kaneilla. Kaneja on siten $24/2=12$.
Funktion nollakohtien haulla
Olkoon $x$ fasaanien lukumäärä. Sen ilmaisee 1. asteen polynomin
$f(x) = 2x + 4(35-x) – 94$
nollakohdat, $f(x) = 0$. PS. Sama kuin yllä melkein ensimmäinen.
Funktion muodostamista
Olkoon funktio $f$ kuvaus kahdelta muuttujalta, $x$ (fasaanien lkm) ja $y$ (kanien lkm) jalkojen määrälle;
$f : (\mathbb N, \mathbb N) \to \mathbb N$.
Koska jokaisesta fasaanista saadaan kaksi jalkaa, tulee olla
$f(x,y) = 2x + A(y)$,
ja jokaisesta kanista tulee
$f(x,y) = 4y + B(x)$,
jossa yhden muuttujan funktiot $A(x)$ ja $B(x)$ ovat tuntemattomia. Selvästi saadaan
$f(x,y) = 2x+3y +C$,
jossa $C$ on vakio. Koska $f(0,0) = 0$, tulee vakion arvoksi $C=0$.
Koska jalkojen kokonaismäärä on $94$, olemme kiinnostuneet kaksiulotteisen funktion osajoukosta, joka on suoralla $y=35-x$, eli
$f(x, 35-x)$.
Kokonaislukumäärä on $94$, joten
$f(x,35-x) = 94$
$2x + 4(35-x) =94$,
mikä jatkuukin nyt tutulla tavalla.
Diafontaksen yhtälö
Kyseessä on selvästi Diafontaksen yhtälö
$2x + 4y=94$.
Haetaan sille yksittäisratkaisu. Selvästi $x_0=1$ ja $y_0=23$ ja kelpaavat. Lisäksi huomataan, että $x$:n ja $y$:n kertoimien suurin yhteinen tekijä jakaa oikeanpuolen (94), joten homman pitäisi pelittää.
Kaikki ratkaisut ovat
$x = 1+n\frac{4}{2} = 1 + 2n$
$y = 23 – n \frac{2}{2}=23-n$.
Lisäksi meillä on ehto, että päitä on yhteensä $35$, eli
$x+y=35$
$1+2n + 23-n = 35$
josta ratkeaa $n=11$. Siis $x=1+22=23$ ja $y=23-11=12$.
Koko juttu oli