Yks' pyöräilijä

Eli opetus≫

Jänikset ja fasaanit, eli jalkojen lukumäärä

| 0 comments

YO-kevät 2014; vanha kiinalainen tarina:

Kani- ja fasaanilaumassa on yhteensä 35 päätä ja 94 jalkaa. Kuinka monta on kumpiakin?

Tiedetään, että kaneilla on neljä jalkaa ja fasaaneilla 2. Helppo homma. Alla muutama erilainen ratkaisutapa

Yhden muuttujan yhtälö

$2x+4(35-x)=94$

josta ratkeaa $x=23$, mikä on fasaanien määrä.

Yhtälöpari

$2x + 4y = 94$ ja

$x+y = 35$

Ratkeaa heittämällä, saadaan $x=23$ (fasaanit) ja $y=12$ (kanit).

Arvaus & tarkistus

Arvaa lukumäärät ja kokeile. Oikea vastaus on helppo tarkistaa, joten tämä on aika nopea.

Jalkojen alijäämä

Jos kaikki olisivat fasaaneja, jalkoja olisi $2\times35=70$. Kuitenkin jalkoja on 94, joten tarvitaan $94-70=24$ jalkaa lisää. Kullekin kanille tulee 2 jalkaa enemmän, joten saadaan kanien määräksi $24/2=12$.

Jalkojen ylijäämä

Jos kaikki olisivat kaneja, jalkoja olisi $4\times35=140$ . Niitä oli vain 94, joten tuli $140-94 = 46$ ylimääräistä jalkaa. Fasaaneilla on kaksi jalkaa vähemmän, joten tarvitaan $46/2=23$ fasaania tasaamaan.

Lista

Tehdään taulukko kaikista eri mahdollisuuksista. Fasaanien ja kanien yhteenlaskettu määrä on aina 35, ja kolmanteen sarakkeeseen lasketaaan jalkojen määrä.

Fasaaneja Kaneja Jalkoja
0         35     140
1         34     138
2         33     136
3         32     134
4         31     132
5         30     130
6         29     128
7         28     126
8         27     124
9         26     122
10        25     120
11        24     118
12        23     116
13        22     114     
14        21     112
15        20     110
16        19     108
17        18     106
18        17     104
19        16     102
20        15     100
21        14      98
22        13      96
23        12      94  <-- Ratkaisu
24        11      92
25        10      90
26         9      88
27         8      86
28         7      84
29         6      82
30         5      80
31         4      78
32         3      76
33         2      74
34         1      72
35         0      70

Monikerrat

Samankaltainen kuin ylläoleva on monikertaratkaisu. Fasaaninen jalkojen monikerrat ovat $0,2,4,6,\dots$ ja kanien $0,4,8,12,\dots$
Siitä etsitään sopivat tulokset; eli paperille piirtelemällä saadaan esim. tähän tapaan:

kanitjafasaanit

Aika hankala tapa

Graafinen ratkaisu

Piirretään kaikki päät fasaaneille. Yhteensä 35.kanitjafasaanit2

 

Lasketaan jalat. Niitä on liikaa. Siispä ruvetaan vaihtamaan fasaaneja kaneiksi. Jokaisesta kanista tulee kaksi jalkaa lisää. Lopuksi saadaan oikea määrä elukoita:

kanitjafasaanit3

Jalkojen poisto 1

Kirurgisesti haastava, mutta matemaattisesti kätevä. Poista kaksi jalkaa jokaisesta elukasta, jolloin jäljelle jää $94-2\times35=24$ jalkaa. Ne kuuluvat 12 kanille.

Jalkojen poisto 2

Kuten yllä; Poista neljä jalkaa jokaisesta elukasta, jolloin jäljelle jää $94-4\times35=-46$ jalkaa. Ne puuttuvat 23 fasaanilta.

Jos kaikki olisi kaneja

Jos kaikki päät kuuluisivat kaneille, jalkoja olisi $35\times4=140$ kappaletta. Mutta kun niitä olikin 94, eli $140-94=46$ vähemmän. Ne täytyy kuulua fasaaneille, eli $46/2=23$ on fasaanien määrä.

Keskiarvolla

Jalkojen keskiarvo on $94/35 = 2 + 24/35$.  Keskimäärin jokaisella on siis $2+24/35 \approx 2.6857\dots$ jalkaa. Hieman enemmän ($24/35$-osaa enemmän) kuin pelkillä fasaaneilla. Siksi

$\frac{24}{35}35=24$

jalkaa kaneilla. Kaneja on siten $24/2=12$.

Funktion nollakohtien haulla

Olkoon $x$ fasaanien lukumäärä. Sen ilmaisee 1. asteen polynomin

$f(x) = 2x + 4(35-x) – 94$

nollakohdat, $f(x) = 0$. PS. Sama kuin yllä melkein ensimmäinen.

Funktion muodostamista

Olkoon funktio $f$ kuvaus kahdelta muuttujalta, $x$ (fasaanien lkm) ja $y$ (kanien lkm) jalkojen määrälle;

$f  :  (\mathbb N, \mathbb N) \to \mathbb N$.

Koska jokaisesta fasaanista saadaan kaksi jalkaa, tulee olla

$f(x,y) = 2x + A(y)$,

ja jokaisesta kanista tulee

$f(x,y) = 4y + B(x)$,

 jossa yhden muuttujan funktiot $A(x)$ ja $B(x)$ ovat tuntemattomia. Selvästi saadaan

$f(x,y) = 2x+3y +C$,

jossa $C$ on vakio. Koska $f(0,0) = 0$, tulee vakion arvoksi $C=0$.

Koska jalkojen kokonaismäärä on $94$, olemme kiinnostuneet kaksiulotteisen funktion osajoukosta, joka on suoralla $y=35-x$, eli

$f(x, 35-x)$.

Kokonaislukumäärä on $94$, joten

$f(x,35-x) = 94$

$2x + 4(35-x) =94$,

mikä jatkuukin nyt tutulla tavalla.

Diafontaksen yhtälö

 

Kyseessä on selvästi Diafontaksen yhtälö

$2x + 4y=94$.

Haetaan sille yksittäisratkaisu. Selvästi  $x_0=1$ ja $y_0=23$ ja kelpaavat. Lisäksi huomataan, että $x$:n ja $y$:n kertoimien suurin yhteinen tekijä jakaa oikeanpuolen (94), joten homman pitäisi pelittää.

Kaikki ratkaisut ovat

$x = 1+n\frac{4}{2} = 1 + 2n$

$y = 23 – n \frac{2}{2}=23-n$.

 Lisäksi meillä on ehto, että päitä on yhteensä $35$, eli

$x+y=35$

$1+2n + 23-n = 35$

josta ratkeaa $n=11$. Siis $x=1+22=23$ ja $y=23-11=12$.

Koko juttu oli

 

http://math.stackexchange.com/questions/478212/is-there-another-simpler-method-to-solve-this-elementary-school-math-problem?newsletter=1&nlcode=49609%7C4ece

Leave a Reply

Required fields are marked *.