Yks' pyöräilijä

Eli opetus≫

Maxwellin yhtälöt

| 0 comments

Neljä Maxwellin yhtälöä integraalimuodossa (alla differentiaalimuotoisina) ovat

$\oint \limits_{\doo S} \vec E \cdot d\vec S = \frac1{\epsilon_0} \int \limits_V \rho \d V$

$\oint \limits_{\doo S} \vec B \cdot \d \vec S = 0$

$\oint \limits_{\doo S} \vec E \cdot  d\vec \ell = – \frac d{dt} \int \limits_A \vec B \cdot d\vec S$

$\oint \limits_{\doo S} \vec B \cdot  d\vec \ell = \mu_0 \int \limits_A \left( \vec J + \epsilon_0 \frac{\doo \vec E}{\doo t} \right) \cdot d \vec S$

 Ne ovat sähkömagneettisen säteilyn perusyhtälöt, jotka kuvaavat klassisen smg-säteilyn. Siinä olevat termit ovat vektorimuodossa

  • $\doo S$: pinnan reuna
  • $\vec E$: sähkökenttä
  • $\vec S$: pinta; vrt pinnan reunaan $\doo S$.
  • $\rho$: varausjakauma (skalaari)
  • $V$: tilavuus
  • $\vec B$: magneettikenttä
  • $d \vec \ell$: integroimispätkä pinnan reunasta $\doo S$
  • $\vec J$: sähkövirran tiheys

Yhtälöistä käy ilmi ainakin seuraavia asioita

  • Smg-aaltoja on kaikilla aallonpituuksilla
  • Sähkömagnetismilla on kaksi komplementaarist osaa (sähkökenttä ja magneettikenttä). Suhteellisuusteoria ainakin yhdistää nämä.
    • sähkökenttä muodostaa sähkövaraukset
    • magneettikenttä aiheuttaa sähkövirran
  • sähkömagneettisen säteilyn nopeus on $c=\frac1{\epsilon_0 \mu_0}=299792458$ m/s.

 

 Gaussin laki

$\oint \limits_{\doo S} \vec E \cdot d\vec S = \frac1{\epsilon_0} \int \limits_V \rho \d V$

Oikea puoli on helppo: $\int \limits_V \rho \d V$ tarkoittaa tilavuuden $V$ sisällä olevaa varausta, $\epsilon_0 $ on luonnonvakio.

Vasemmalla puolella taas lukee sähkökentän tiheys kohtisuoraan tilavuuden $V$ rajaamaa pintaa $\doo S$ vasten $\vec E \cdot d\vec S$ summattuna koko pinnan läpi.gaussinlaki

 

Siis kokonaissähkökentttä minkä tahansa suljetun pinnan läpi on verrannollinen pinnan sisällä olevaan varaukseen.

 $\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$

Differentiaalimuodosta nähdään sama juttu; suljetun avaruuden osan yli, kaukana sähkövarauksista, sähkökentän vuo on nolla. $\vec E$-kentän divergenssi on nolla. Jos tutkittavassa avaruuden osassa on varausta, tilanne muuttuu; $\rho\neq0$. Positiivinen varaus on kentän lähde ja negatiivinen nielu. Kokonaismäärä sähkökenttää pinnan yli on verrannollinen pinnan sisällä olevaan varaukseen.

Gaussin laki magneettikentälle

$\oint \limits_{\doo S} \vec B \cdot \d \vec S = 0$

 Oikea puoli on taas helppo, nolla on nolla.

Vasemmalla puolella summataan magneettikentän tiheys kohtisuoraan mitä tahansa pintaa vasten. Se on nolla.

gaussinlakiMG

 

Tarkoittaa, että ei ole magneettisia monopoleja. Jokaisessa kuviteltavissa olevassa tilavuudessa on yhtä paljon meneviä ja tulevia “kenttäviivoja”. Ei ole olemassa magneettista varausta.

  $\nabla \cdot \vec H = 0$

Differentiaalimuodosta nähdään sama juttu; suljetun avaruuden osan yli, kaukana magneettisista materiaaleista, magneettikentän vuo on nolla. $\vec H$-kentän divergenssi on nolla. Vaikka alueella olisi magneetteja, se ei haittaa. Magneettikentän viivat aina alkavat pohjoiskohtiolta ja päätyvät eteläkohtiaan. Koskaan ne eivät synny tai häviä tyhjään avaruuteen.

Faradayn laki

$\oint \limits_{\doo S} \vec E \cdot  d\vec \ell = – \frac d{dt} \int \limits_A \vec B \cdot d\vec S$

Nyt menee jo pahemmaksi.

Oikea puoli kertoo oikeastaan magneettikentän aikamuutoksen pinnan $A$ yli, eli magneettivuon $\Phi = BA$ muutoksen eli indusoituneen virran; lukiofysiikassa on

$e = – \frac{d \Phi}{dt}$

 Vasemmassa puolessa integroidaan eli summataan samaisen pinnan $S$ reunan yli $\doo S$ sähkökenttää $\vec E$. Sitä sanotaan viivaintegraaliksi.

 

Nyt laiskottaa, katso kuva wikipediasta.

 

Se merkitsee, että (indusoitunut) sähkömagneettinen voima missä tahansa suljetussa silmukassa on yhtä suuri kuin magneettivuon muutosnopeus samaisessa silmukassa.

Tässä on se pieni ongelma, että voimaa ei näy oikein missään. Muista, että

$\vec F = q( \vec E + \vec v \times \vec B)$

Differentiaalimuodossa Faradayn laki lukee

$\nabla \times \vec E = – \frac{\doo \vec B}{\doo t}$.

Tämä huomioi kentän muutoksen; curl-operaattori kertoo, mitä $\vec E$-kentälle tapahtuu, kun tehdään pieni kierros sen ympäri. Muuttuva sähkökenttä aiheuttaa muuttuvan $\vec H$-kentän. Ja päinvastoin, tietenkin.

 

 Ampèren laki

$\oint \limits_{\doo S} \vec B \cdot  d\vec \ell = \mu_0 \int \limits_A \left( \vec J + \epsilon_0 \frac{\doo \vec E}{\doo t} \right) \cdot d \vec S$

 Vasemmassa puolessa on sähkövirran tiheys $\vec J$ ynnättynä sähkökentän $\vec E$ aikamuutoksella (-derivaatalla) summattuna koko pinnan $S$ yli.

 

Kuva wikipediasta, nyt laiskottaa.

Oikea puoli taas liittää tähän magneettikentän $\vec B$. Eli kierrätään nyt äskeisen pinnan reunaa pitkin ja lasketaan kohtisuoraa mg-kentän summaa (integraalia).

Differentiaalimuodossa

 $\nabla \times \vec H = \mu_0 \left( \vec J + \epsilon_0 \frac{\doo E}{\doo t}\right)$.

 Sama kuin edellä, eli pieni muutos magneettikentässä aiheuttaa virran. Tai virta aiheuttaa mg-kentän muutoksen.

 

Aaltoyhtälö

Edellisistä saadaan aaltoyhtälö, eli yhtälö joka kuvaa smg-aallon käyttäytymistä. Se on aika simppeli juttu, paitsi $\nabla\times(\nabla \times \vec X)$:n osalta. Aaltoyhtälö antaa aallon nopeuden, eli $c$:n.

Leave a Reply

Required fields are marked *.